power moster

Em matemática, a multiplicação é uma operação binária. Na sua forma mais simples a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. Ao lado da adição, da divisão e da subtração, a multiplicação é uma das quatro operações fundamentais da aritmética.1 Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador.2

x \cdot y = \begin{matrix} \underbrace{y+y+\cdots+y}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}

(lê-se "x vezes y" ou "y adicionado x vezes")

Assim, por exemplo,

3 \times 4 = 4 + 4 + 4 = 12,

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de reta dados determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais (veja aqui).

Índice

[esconder]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Comutatividade: A ordem dos fatores não altera o resultado da operação. Assim, se x . y = z, logo y . x = z.
Associatividade: O agrupamento dos fatores não altera o resultado. (Podemos juntar de dois em dois de modo que facilite o cálculo). Assim, se (x . y) . z = w, logo x . (y . z) = w.
Distributividade: Um fator colocado em evidência numa soma dará como produto a soma do produto daquele fator com os demais fatores. Assim, x . (y + z) = (x . y) + (x . z).
Elemento neutro: O um (1) é chamado elemento neutro da multiplicação. Assim, x . 1 = x = 1 . x.
Elemento opositor: O fator -1 (menos um) transforma o produto em seu simétrico. Assim, -1 . x = -x e -1 . y = -y, para y diferente de x.
Fechamento: O produto de dois números reais será sempre um número real.
Anulação: O fator 0 (zero) anula o produto. Assim, x . 0 = 0, e y . 0 = 0, com x diferente de y.

Na matemática, podemos dizer que a multiplicação é a mais simples forma de agruparmos uma quantidade finita de números. Ao efetuarmos uma multiplicação, chegamos a uma resposta que é chamada de produto. Na geometria, está relacionada também como uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de retas dados, podemos determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais.

Comutatividade da multiplicação de números naturais:

x\cdot y = \begin{matrix} \underbrace{y+y+y+\cdots+y}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}

x\cdot y = \begin{matrix} \underbrace{y+y+y+\cdots+y}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix} +x -x

= x + \begin{matrix} \underbrace{(y-1)+(y-1)+\cdots+(y-1)}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}

= x + x + \begin{matrix} \underbrace{(y-2)+(y-2)+\cdots+(y-2)}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}

= \begin{matrix} \underbrace{x+x+x+\cdots+x}\\{n}\\[-4ex] \end{matrix} + \begin{matrix} \underbrace{(y-n)+(y-n)+\cdots+(y-n)}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}

Tomando

n = y,

temos:

= \begin{matrix} \underbrace{x+x+x+\cdots+x}\\{y}\\[-4ex] \end{matrix} + \begin{matrix} \underbrace{(y-y)+(y-y)+\cdots+(y-y)}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}

= \begin{matrix} \underbrace{x+x+x+\cdots+x}\\{y}\\[-4ex] \end{matrix}

= y\cdot x

Distributividade da multiplicação de números naturais:

x\cdot (y+z) = \begin{matrix} \underbrace{(y+z)+(y+z)+\cdots+(y+z)}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}

= \begin{matrix} \underbrace{y+y+y+\cdots+y}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix} + \begin{matrix} \underbrace{z+z+z+\cdots+z}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}

= x\cdot y + x\cdot z

Notação[editar | editar código-fonte]

A multiplicação pode ser escrita de várias formas equivalentes. Todas as formas abaixo significam, "5 vezes 2":

5\times 2

5\cdot2

(5)2,\ 5(2),\ (5)(2),\ 5[2],\ [5]2,\ [5][2]

5*2

O asterisco é usado frequentemente em computação pois em um símbolo existente em todos os tipos de teclado, mas não é usado quando escrevendo-se matemática à mão (A origem desta notação vem da linguagem de programação FORTRAN.) Frequentemente a multiplicação esta implícita na notação. Isto é o padrão em Álgebra, onde se usa formas como:

5x

xy.

O potencial de confusão que isto cria é grande, já que não podemos ter variáveis com mais de um letra.

É possível se multiplicar um ou mais termos de uma vez. Se os termos não são escritos explicitamente, então o produto pode ser escrito com reticências ... para marcar os termos que estão subentendidos, como em outras operações em série na soma.

Desta forma, o produto de todos os números naturais de 1 a 100 pode ser escrito como

1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100.

Isto também pode ser escrito com as elipses (três pontinhos) no meio da linha e não embaixo, como

1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 99 \cdot 100.

De forma alternativa, como na adição o produto pode ser escrito usando-se um símbolo de produto, chamado produtório Π que é a letra Pi no alfabeto grego.

Isto é definido como:

\prod_{i=m}^{n} x_{i} := x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \cdots \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}.

O subscrito é uma variável muda (

i

no nosso caso), o limite inferior é (

m

) e o limite superior é

n.

Assim por exemplo:

\prod_{i=2}^{6} \left(1 + {1\over i}\right) = \left(1 + {1\over 2}\right) \cdot \left(1 + {1\over 3}\right) \cdot \left(1 + {1\over 4}\right) \cdot \left(1 + {1\over 5}\right) \cdot \left(1 + {1\over 6}\right) = {7\over 2}.

Podemos também considerar um produto com um número infinito de termos; este é chamados de produto infinito. Apenas como notação, basta substituir n acima por infinity o símbolo para (∞). Matematicamente, o produtório é definido para séries infinitas como o limite do produto dos

n

primeiros termos, quando

n

cresce sem limite. Isto é:

\prod_{i=m}^{\infty} x_{i} := \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^{n} x_{i}.

Podemos de forma semelhante substituir

m

por infinito negativo, e

\prod_{i=-\infty}^\infty x_i := \left(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=-n}^m x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=m+1}^n x_i\right),

para algum inteiro

m,

desde que o limite exista.

Indeterminações[editar | editar código-fonte]

Na multiplicação e divisão, existem 2 indeterminações:

$\pm\frac{\infty}{\infty}$
$0\cdot\infty$

Notas e referências

Ir para cima↑ Perides Moisés, Roberto; Castro Lima, Luciano. Multiplicação: Como funciona e quando utilizar (em português) UOL Educação. Visitado em 02 de maio de 2014.
Ir para cima↑ NOVA ESCOLA - PLANO DE AULA - Multiplicação mental

Multiplicação
×

Divisão
÷

http://www.smartkids.com.br/jogos-educativos/matematica-jogo-da-multiplicacao.html

Regras e esclarecimentos – Blogs do 5° ano

· Blog é um ambiente de todos integrantes do grupo

· Objetivos:

§ O blog serve para que todos vejam as tarefas de todos.

§ Servirá de referência para muitas pessoas, inclusive professores de todo o mundo.

§ É um ambiente de estudo onde publicaram as atividades feitas no laboratório, também alguma reportagem, jogos, aplicativos que considerem interessantes.

· Todos devem estar de acordo com o que será feito no blog, ou seja, postagem e edições devem ser de comum acordo dos integrantes.

· Não será aceito nenhum tipo de critica ou comentário que seja destrutivo aos membros do grupo ou a qualquer participante do projeto.

· É obrigação de todos os alunos visitarem todos os blogs da turma.

· É obrigação dos alunos contribuir com os demais grupos e realizar comentários reflexivos sobre os conteúdos dos blogs. Exemplo: O que achou da tarefa? O que achou da atividade do colega? Como ele pode melhorar? Quais dificuldades você teve? Como você decidiu qual tarefa ou conteúdo colocar no blog?...

power moster

terça-feira, 9 de dezembro de 2014

Formas Geométricas em Fotos

sábado, 6 de dezembro de 2014

A multiplicação

Índice

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Notação[editar | editar código-fonte]

Indeterminações[editar | editar código-fonte]

Notas e referências

sobre a vida da tarsila

As Paisagens no GeoGebra

segunda-feira, 1 de dezembro de 2014

segunda-feira, 13 de outubro de 2014

regras e esclarecimentos